Tämän joulun tehtäväpaketti on siksi poikkeuksellinen, että moneen tehtävään ei ole suoraa vastausta, vaan ne on tarkoitettu pohdittaviksi. Kaksi viimeistä tehtävää vaativat jonkin verran esitietoja todennäköisyyslaskennasta, muut tehtävät taas sopivat kaikille matematiikasta kiinnostuneille. Tehtäviä saa mielellään miettiä myös Suomipelit.comin keskustelussa muiden kanssa.

1. Shakkilaudan täyttö

Shakkilaudasta poistetaan vasemman ylänurkan ja oikean alanurkan ruutu. Sitten shakkilaudalle ruvetaan asettelemaan dominopaloja. Onko mahdollista täyttää koko shakkilauta dominopaloilla niin, että kaikki ruudut peittyvät, mutta mikään dominopala ei mene laudan ulkopuolelle tai toisen päälle?

Tämän tehtävän shakkilaudassa on 62 ruutua, koska vastakkaiset kulmaruudut on poistettu. Dominopala vie tilaa kaksi ruutua pysty- tai vaakasuunnassa, joten dominopaloja tarvitaan kaikkiaan 31.

Jos täyttäminen on mahdollista, näytä yksi mahdollinen täyttötapa. Muussa tapauksessa perustele, miksi täyttäminen ei ole mahdollista.

2. Kummallinen juoksuennätys

400 metrin juoksun tämänhetkinen maailmanennätys on noin 43 sekuntia. On varmaa, että kukaan ihminen ei koskaan pysty juoksemaan kyseistä matkaa sekunnissa. Toisaalta tuntuu mahdottomalta, että olisi olemassa alittamaton ennätysaika. Ainahan juoksuaikaa voi parantaa sadasosasekunnilla, jos juoksee hieman taitavammin kuin viime kerralla.

Esimerkiksi jos alittamaton ennätysaika olisi 38,12 sekuntia, miksei tämän ennätyksen haltija pystyisi myös aikaan 38,11 sekuntia harjoittelemalla riittävästi? Miten on mahdollista, että näin ei koskaan saavuteta aikaa 1,00 sekuntia, sadasosasekunti kerrallaan?

3. Tutut ja tuntemattomat

Juhliin on kutsuttu joukko ihmisiä (ainakin kaksi henkilöä). Osoita, että juhlijoiden joukossa on kaksi henkilöä, jotka tuntevat yhtä monta henkilöä.

Esimerkiksi jos juhlijoita on kolme, A, B ja C, on esimerkiksi mahdollista, että A ja B tuntevat toisensa, mutta C ei tunne ketään. Tällöin A:n ja B:n tuttavuuksien määrä on yksi ja C:n tuttavuuksien määrä on nolla. On siis kaksi henkilöä, jotka tuntevat yhtä monta henkilöä, nimittäin molemmat yhden, ja nämä ovat A ja B.

Mutta osaatko perustella, miksi tällaiset henkilöt on aina mahdollista löytää riippumatta juhlijoiden määrästä ja tuttavuuksista?

4. Arvaamaton odotusarvo

Tapahtumassa myydään arpoja, joiden hinta on 5 euroa ja joista 1 prosenttia sisältää 100 euron voiton ja 4 prosenttia sisältää 10 euron voiton. Muissa arvoissa (95 prosenttia) ei ole voittoa.

Nyt arvan ostaja voi voittaa 95 euroa tai 5 euroa tai sitten hävitä 5 euroa. Todennäköisyydet ovat vastaavasti 1 prosenttia, 4 prosenttia ja 95 prosenttia. Näin voittosumman odotusarvo on 95 * .01 + 5 * .04 + (-5) * .95 = -3,6 euroa. Toisin sanoen arvan ostaja jää keskimäärin tappiolle 3,6 euroa.

Nyt sääntöjä muutetaan niin, että arpa maksaa 1000 euroa, mutta 1 prosenttia arvoista voittaa peräti 1000000 (miljoona) euroa. Nyt voittosumman odotusarvo on 9000 euroa, eli arvan ostaja saa keskimäärin suuren määrän rahaa. Tarkoittaako tämä, että kannattaa oitis hankkia tällainen arpa viimeisillä säästöillä? Odotusarvohan on positiivinen, eli sijoitus palkitaan moninkertaisesti?

5. Mahdoton todennäköisyys

Tietokone arpoo satunnaisen kokonaisluvun niin, että kaikki luvut ovat yhtä todennäköisiä. Arvottavan luvun pituutta ei ole mitenkään rajoitettu.

Millä todennäköisyydellä tietokone arpoo kokonaisluvun x?

Jos todennäköisyys on 0, tietokone ei voi arpoa lukua x. Mutta tämä ei ole mahdollista, koska tietokone voi arpoa minkä tahansa kokonaisluvun eli tietokone voi arpoa myös juuri luvun x.

Jos todennäköisyys on yli 0, voidaan valita joukko kokonaislukuja, joiden yhteinen todennäköisyys on 1. Tällöin tietokone arpoo varmasti jonkin näistä kokonaisluvuista. Mutta tämä ei ole mahdollista, koska tietokone voi arpoa myös jonkin muun kokonaisluvun.

Miksi mikään todennäköisyys ei näytä kelpaavan?